MATEMATI DASAR ~ Ella Mashulatul Mufida

MAKALAH

BARISAN DAN DERET

Disusun oleh:

Ø Ella Mashulatul Mufida (130210204120)

Ø DWI SAEPUTRI (130210204088)

Ø Nurdini Amilia (130210204113)

Ø Brenda Nadya p (130210204013)

Ø Nurus Sarqiatil Muhfifa (130210204020)

KEMENTRIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

UNIVERSITAS JEMBER

Jalan Kalimantan 37 – Kampus Bumi Tegalboto Kotak Pos 159 Jember 68121

Telp. (0331) 330224, 334267, 337422, 333147 Fax : (0331) 339029

Tujuan :

1. Siswa dapat memahami pengertian barisan bilangan

2. Siswa dapat menjelaskan rumus suku ke-n deret aritmatika dan geometri

3. Siswa dapat menjelaskan rumus jumlah suku ke-n deret aritmatika dan geometri

4. Membantu siswa untuk menentukan rumus aritmatika dan geometri

MATERI

· Pengantar

Masalah barisan sebenarnya sudah sejak zaman Yunani kuno muncul sebagai salah satu masalah yang menarik perhatian. Sejak 2400 tahun yang lalu konsep barisan yang kita kenal dalam matematika mulai banyak dibicarakan orang, yaitu sejak seorang ahli filsafat Yunani yang bernama Zeno mengemukakan suatu krisis dalam matematika. Krisis matematika itu dikenal sebagai paradoks Zeno, yaitu sebagai berikut: ”Seorang pelari yang harus menempuh suatu jarak tertentu dengan cara melampaui setengah dari setiap jarak yang ditempuh, sebagai akibatnya pelari ini tidak akan sampai pada ujung dari jarak yang akan ditempuhnya”.

Permasalahan paradoks Zeno baru dapat diatasi dengan diketemukannya masalah barisan, terutama barisan tak hingga.

Selain masalah barisan ada pula cerita yang berkaitan dengan konsep deret dalam matematika. Ada suatu cerita tentang seorang hamba yang meminta kepada rajanya untuk diberi beras dengan cara meletakkan 1 butir beras pada kotak pertama sebuah papan catur. Kemudian meletakkan 2 butir pada kotak kedua, 4 butir pada kotak ketiga, dan seterusnya, sehingga setiap kotak selanjutnya harus diisi dengan beras sebanyak kuadrat dari jumlah beras yang ada pada kotak sebelumnya. Ternyata beras seluruh negeri tidak cukup untuk memenuhi permintaan hamba ini.

Uraian di atas, pada dasarnya merupakan salah satu barisan dan deret yang kita kenal dalam matematika. Konsep barisan dan deret akan selalu terkait 2

dengan bilangan-bilangan dan aturan-aturan tertentu yang menghubungkan bilangan-bilangan tersebut.

1. Barisan

Tentunya dalam kesempatan lain kita telah menjumpai sebarisan bilangan, dan

biasanya kita diminta untuk dapat menentukan suku-suku berikutnya. Persoalan semacam ini kita jumpai ketika kita mengikuti tes psikologi, test intelegency quetion (IQ), tes kemampuan umum (TKU), tes potensi akademik (TPA), atau tes-tes psikologi untuk bidang-bidang keahlian tertentu, yaitu pada bagian tes seri (Tes Barisan dan Deret). Sebagai contoh dalam TKU, yaitu tes untuk para siswa SMA yang ingin meneruskan ke perguruan tinggi diminta untuk menentukan dua suku berikutnya yang mungkin dari setiap barisan di bawah ini, dan memberikan suatu aturan yang dapat dipakai untuk menyusun barisan itu.

(a) 1, 3, 5, 7, ...

(b) 500, 400, 320, 256, ...

(d) 2, 5, 10, 17, ...

Barisan-barisan semacam itu serimgkali muncul dalam kehidupan sehari-hari. Anda mungkin pernah menjumpai sebagian dari barisan seperti (a). Misalnya ketika mencari rumah yang bernomor 11 mungkin Anda menerka bahwa rumah yang dicari itu ada pada sisi lain dari jalan tersebut. Barisan yang (b) memberikan gambaranhanya suatu speda motor dalam puluhan ribu rupiah yang disusutkan 20% per tahun.

Barisan semacam ini sering pula muncul dalam permasalahan matematika. Pada hakekatnya unsur-unsur (u) atau suku-suku (s) barisan adalah nilai-nilai dari suatu fungsi u (fungsi s) yang daerah asalnya (domain f-nya) adalah himpunan bilangan asli A = { 1, 2, 3, ...}. Dalam hal ini kita mempunyai pemetaan (fungsi) dari himpunan A = { 1, 2, 3, ...} ke himpunan unsur-unsur pada barisan. Aturan 3 yang menghubungkan daerah asal (domain f) ke daerah hasil (range f) merupakan suatu rumus untuk barisan tersebut.

Untuk fungsi u yang berkaitan dengan barisan (a) yaitu rumus yang mungkin adalah u(n) = 2n – 1. Rumus atau aturan fungsi ini menghasilkan suku ke-n dari barisan tersebut. Rumus tersebut biasanya adalah un = 2n – 1 dengan n A = {1, 2, 3, ...}. Barisan bilangan (a) 1, 3, 5, 7, ... mempunyai suku (urutan) pertama u1 = 1, suku kedua u2 = 3, suku ketiga u3 = 5, dan seterusnya sampai pada suku ke-n un = 2n – 1. Dari contoh ini terlihat adanya korespondensi satu-satu antara bilangan asli n ke suku ke-n atau un dari barisan tersebut.

1 , 2 , 3 , . . . n

u1 = (2 x 1) – 1 u2 = (2 x 2) – 1 u3 = (2 x 3) – 1 un = 2n - 1

= 1 = 3 = 5

Dari penjelasan di atas, jelaslah bahwa barisan dapat disebut pula sebagai fungsi dari bilangan asli. Dalam hal ini ada bererapa cara untuk menyatakan suatu barisan, yaitu:
(1) {u1, u2, u3, ..., un}
atau {s1, s2, s3, ..., sn} dengan n bilangan asli.
(2) {un} dengan n A = {1, 2, 3, ...}.
(3) f : n un dengan n A = {1, 2, 3, ...}.
Contoh 34 Carilah rumus untuk suku ke-n dari barisan yang empat suku pertamanya adalah
(a) 1, 4, 7, 10, ...
(b) 3, 9, 27, 81, ... (c) -2, 2, -2, 2, ...
Penyelesaian:

(a) Selisih dua suku yang berurutan ialah 3, maka un = 3n -3. 4

(b) Perpangkatan dari 3, sehingga un = 3n. (c) (-1)1 = -1, (-1)2 = 1, dan seterusnya, sehingga
un = 2 x (-1)n.

2. Barisan Bilangan

Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang dituliskan berurutan menurut suatu aturan tertentu.
Contoh 35;

(a) 1, 3, 5, 7, …

(b) 2, 6, 10, 14, …

Jika kita perhatikan contoh (a), suku yang pertamanya u1 = 1, suku yang kedua u2 diperoleh dengan menambahkan 2 kepada u1, suku yang ketiga u3 diperoleh dengan menambahkan 2 kepada u2, demikian seterusnya. Jadiselisih dari tiap suku yang berurutan dari barisan ini adalah tetap, yaitu sebesar 2. Barisan seperti ini dinamakan barisan aritmetika dan selisih yang tetap dari barisan itu disebut beda barisan. Contoh-contoh (a), (b), dan (c) dari contoh 35 di atas adalah contoh-contoh dari barisan aritmatika. u1, u2, u3, ..., un ialah barisan aritmetika , jika berlaku u2 – u1, = u3, ..., u2 = ... = un – un – 1 = konstanta. Konstanta ini disebut beda, dan besarnya dinyatakan dengan b. (a) 1, 3, 5, 7, … bedanya ialah 3 – 1 = 5 – 3 = … = 2 (b) 2, 6, 10, 14, … bedanya ialah 6 – 2 = 10 – 6 = 14 – 10 = 4 (c) 100, 90, 80, 70, … bedanya ialah 90 – 100 = 80 – 90 = … = - 10 Jadi, dari sajian diskusi di atas jelaslah, bahwa suatu barisan dinamakan barisan aritmetika jika dan hanya jika selisih dua suku yang berurutan selalu tetap (definisi).

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan dengan hasil pengurangan setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama. hasil pengurangan tersebut dinamakan beda (b).

Jika suku pertama barisan aritmetika u1 dinamakan a, maka didapat

u1 = a

u2 - u1 = b u2 = u1 + b = a + b

u3 – u2 = b u3 = u2 + b = (a + b) + b = a + 2b

u4 – u3 = b u4 = u3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

dan seterusnya, sehingga didapat barisan aritmetika dalam bentuk:

a , a + b , a + 2b , a + 3b , …, a (n – 1)b Dari sini kita dapatkan bentuk umum rumus suku ke-n barisan aritmetika, yaitu: un = a + (n – 1)b

Contoh:

Carilah suku ke-100 dari barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, …

Penyelesaian:

Di sini: a = 2
b = u2 – u1 = 5 – 2 = 3

n = 100

un = a + (n – 1)b

un = 2 + (100 – 1)3 = 2 + (99 x 3) = 299

3. Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika (definisi).

Jika barisan aritmetikanya dinyatakan dalam bentuk:

a , a + b , a + 2b , … , a + (n – 1)b

maka deret aritmetikanya adalah:

a + (a + b) + (a + 2b) + … + [a + (n – 1)b]

dan dinotasikan dengan Jn (jumlah n buah suku pertama barisan aritmetika) atau Sn (sum). Bagaimanakah rumus umum jumlah n suku dari deret aritmetika? Jika Sn adalah notasi untuk menyatakan jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika, maka

S n = a + (a + b) + (a + 2b) + … + [a + (n – 1)b]

S n = [a + (n – 1)b] + [a + (n – 2)b] + [a + (n – 3)b] + … + a +

2S n = [2a + (n – 1)b] + [2a + (n – 1)b] + [2a + (n – 1)b] + …+ [2a + (n – 1)b]

2S n = n [2a + (n – 1)b]

S n =

n [2a + (n – 1)b]

Karena Un = a + (n – 1)b, maka

S n =

n [a + Un]

Jadi jumlah n suku deret aritmetika adalah

S n =

n [2a + (n – 1)b]

atau Sn =

n [a + Un]

Sebagai tambahan, pandang deret aritmetika berikut ini.

S n = a + (a + b) + (a + 2b) + … + [a + (n – 2)b] + [a + (n – 1)b]

S n - 1 = a + (a + b) + (a + 2b) + … + [a + (n – 2)b] -

S n - S n - 1 = a + (n – 1)b = Un

S Jadi suku ke-n (urutan ke-n): Un = S n - S n – 1.

4. Barisan geometri

jika hasil bagi tiap suku dengan suku sebelumnya selalu tetap (definisi). Hasil bagi yang tetap ini disebut rasio.

5. Deret geometri

Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan geometri

untuk menyatakan jumlah n

suku pertama suatu barisan geometri

Sn = a + ar +

+ … +

r Sn = ar +

+ … +

(1 – r) Sn = a –

Sn = a –

1-r

Sn = a (1–

)

1-r

Sn = a (1–

)

1-r berlaku jika r > 1.

6. Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah salah satu bentuk istimewa dari deret

geometri yang baru saja kita diskusikan.

geometri tak hingga adalah suatu deret geometri yang banyak unsur-unsur atau suku-sukunya

tak hingga.

a (1–

)

1-r

Untuk < 1 atau -1 , r < 1, maka

. 0

Jadi rumus umum geometri tak hingga adalah

RANGKUMAN

Barisan dan DeretAritmatika

1. Barisan aritmatika

a. Barisan bilangan

Barisanbilanganadalahbilangan-bilangan yang dituliskanberurutanmenurutsuatuaturantertentu. Berikutinibarisanbilangandarisuku ke-1 sampaidengansukuke-n

U_1
,U_{2 ,}U₃ , U₄ , . . . , U_n

b. Barisan aritmatika

Barisanaritmatikaadalahbarisanbilangandenganhasilpengurangansetiapsukudengansukusebelumnyaselalusama. Hasilpengurangantersebutdinamakan (b).

Dari sini kita dapatkan bentuk umum rumus suku ke-n barisan aritmetika, yaitu:

U_n= a + ( n-1 )b

Dengan : U_n = sukuke-n

a = sukupertama

b = beda

n = banyaksuku

2. deret aritmetika

a. deret bilangan

deret adalah penjumlahandari suku-suku yang berurutan suatu barisan. Jumlah n suku pertama suatu barisan bilangan dilambangkan dengan S_n

b. deret aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku yang berurutan suatu

barisan aritmatika. Jumlah n suku pertama deret aritmatika

Jadi jumlah n suku deret aritmetika adalah

S n =

n [2a + (n – 1)b]

atau Sn =

n [a + Un]

Barisan dan deret geometri

1. Barisan geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan dengan perbandingan setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama. Perbandingan setiap dua suku berurutan tersebut disebut rasio (r).

Maka rumus barisan geometri

2. Deret geometri

Deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan geometri. Bentuk umum jumlah n suku pertama deret geometri dituliskan sebagai berikut

suku pertama suatu barisan geometri

Sn = a (1–

)

1-r

Sn = a (1–

)

1-r berlaku jika r > 1.

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah salah satu bentuk istimewa dari deret

geometri yang baru saja kita diskusikan.

geometri tak hingga adalah suatu deret geometri yang banyak unsur-unsur atau suku-sukunya

tak hingga.

Jadi rumus umum geometri tak hingga adalah

LATIHAN SOAL

Soal barisan aritmetika

1. Diketahui barisan aritmetika 7,12,17,22......
carilah suku ke 21?

2. Suku ke 16 dari barisan aritmatika 16,13,10 adalah.....

3. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika = -9,-5,-1......adalah

4. Sebuah barisan aritmetika mempunyai beda 5 dan

=24 cailah

5. Suku ke 4 dan suku ke 13 dari barisan aritmetka yaitu 9 dan -9 carilah suku ke 19!

Soal deret aritmetika

1. Diketahui deret aritmetika 3+8+13+...
carilah

2. Diketehui suku pertama dan ke 8 dari barisan aritmetika yaitu 5 dan 33 carilah

3. Diketahui suku ke 9 dan ke 21 dari barisan aritmetika yaitu 12 dan 72 carilah

4. Diketahui suku ke 15 dari barisan aritmetika adalah 47 dan jumlah 15 suku pertama adalah 285 carilah

5. Diketahui

dan

dari barisan aritmetika adalah 13 dan 58 carilah jumlah suku pertama dari barisan aritmetika tersebut

Soal barisan geometri

1. Diketahui barisan geometri = 3,6,12,24,48....
carilah suku ke 5!

2. Suku ke 2 barisan geometri adalah 3 dan suku ke 5 adalah 81 carilah suku ke 7

3. Diketahui suku ke 2 dan ke 5 dari barisan geometri adalah

dan 36 carilah suku ke 6 dari barisan tersebut adalah.....

4. Diketahui suku pertama 25 dan suku ke 9 adalah 6400 carilah suku ke 5 dari barisan tersebut adalah........

5. Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri berturut-turut adalah 2 dan 54 suku ke 4 barisan geometri tersebut adalah.....

Soal deret geometri

1. Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku ke 4 adalah 48 jumlah 6 suku pertama dari suku tersebut adalah......

2. Suku ke 2 dan ke 5 suatu barisan geometri berturut- turut adalah 2 dan 54 jumlah 6 suku pertama adalah.....

3. Diketahui suku ke 2 dan ke 6 dari barisan beometri adalah 6 dan 96 carilah jumlah 5 suku pertama dari barisan tersebut

4. Diketahui suku pertama 16 dan suku ke 4 adalah 2 carilah jumlah 5 suku pertama

5. Diketahui suku petama dan ke 5 adalah 4 dan 324 carilah

Soal tak hingga

1. Jumlah sampai tak hingga deret 3+1+

+... adalah

2. Jumlah tak hingga deret 6+3+

+..., adalah

3. Sebuah bola dijatuh kan dari ketinggian 81 m kemudian memantul kembali setinggi

kali tinggi semula begitu seterusnya sampai bola terhenti. Panjang lintasan yang dilalui bola adalah...m

4. Sebuah bola dijatuhkanm dari ketinggian 4 cm kemudian memantul kembali setinggi

kali tinggi semula begitu seterusnya sampai bola terhenti

Panjang lintasan yang dilalui bola tersebut adalah.....cm

5. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 1 meter diatas permukaan lantai setiap kali sesudah jatuh mengenai lantai,bola itu dipantulkan lagi mencapai ¾ dari tinggi sebelumnya.,carilah panjang seluruh lintasan yang di tempuh bola itu selama 5 pantulan yang pertama.

SOAL :

1. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21, maka suku ke-50 adalah ..

2. Jumlah n suku pertama deret aritmatika dengan

Suku ke-20 dari deret aritmatika tersebut adalah ..

3. Diketahui barisan aritmatika dengan

adalah suku ke-n. Jika

adalah ..

4. Sebuah daerah pada tahun 2008 memiliki jumlah penduduk 24 orang. Tiap tahunnya jumlah penduduk bertambah dua kali lipatnya. Maka, jumlah penduduk pada tahun 2012 adalah ..

5. Diketahi sebuah barisan geometri